Фамилия Лапиина — редкий случай, когда написание отражает живую народную речь. В ней двойное «и» — это не ошибка и не вариант «Лапина». Перед нами форма, образованная через суффикс -ин- от прозвища или имени, которое оканчивалось на -ия или -ий, но в бытовом произношении стянулось. Чаще всего такую модель дают женские имена на -ия: Лапия, уменьшительное от Евлампия или Алимпия. В русских говорах имя Алимпия (церковное, от греческого «блистающий») часто сокращали до Лампа, Лапа, а потом и до Лапия. Отсюда Лапиин — «сын или потомок Лапии». Двойное «и» в фамилии — архаичное написание, которое сохранило полную форму суффикса: основа Лапиj- + суффикс -ин, на стыке получилось Лапиин.

Но есть и другая, более прозаичная версия. В северных и сибирских говорах «лапа» — не только ступня, но и неуклюжий, медлительный человек, а также прозвище за крупные руки или ноги. Суффикс -ин в этом случае обычный: Лапа → Лапин. Однако написание Лапиина встречается в документах XVIII–XIX веков, когда при переписи населения писцы механически добавляли окончание, путая с патронимами на -иич. Иногда так записывали женщин: Лапиина — жена Лапина. Но как наследственная фамилия она закрепилась именно в двойной форме.

Географически фамилия Лапиина — редкая, встречается точечно в Архангельской, Вологодской областях и в Забайкалье. Если ваши предки оттуда, скорее всего, корень — в личном имени Алимпий или в прозвище Лапа. Спор между этими версиями решает контекст: в старообрядческой среде имя Алимпий было популярно, и там фамилия Лапиин — почти наверняка «именная». А в среде крестьян-землепашцев, где прозвища давали по внешности, — «лапная».

Словообразовательная модель здесь необычна: не -ов/-ев, а -ин, что типично для фамилий от женских основ или от прозвищ на -а. Двойное «и» — не суффикс, а стечение корневого и суффиксального гласных. В современном русском языке такие формы вытесняются упрощённым написанием, но Лапиина удерживается как маркер старой записи. Это не фамилия дворянского сословия — скорее крестьянская или мещанская, без громких носителей в истории, но с живым следом в диалектной речи.