Фамилия Лапиукая — редкий случай, когда окончание сразу выдаёт географию. Это типично литовская фамилия, образованная по модели женского рода: в Литве фамилии мужчин часто заканчиваются на -ас, -ис, -ус, а их жён или дочерей — на -ене, -уте, -айте или -укая. Лапиукая — женская форма от мужской фамилии Лапиускас (Lapiūskas) или Лапюс (Lapius). Основа здесь — литовское слово lapė («лиса»). Так что в буквальном переводе Лапиукая — «лисова», «лисичкина», то есть женщина из рода Лиса.

Мужская форма Лапиускас, скорее всего, произошла от прозвища. В литовской ономастике прозвища по животным — обычное дело: человек мог получить имя Лис за хитрость, рыжеватый цвет волос или даже за профессию, связанную с охотой на лис. Суффикс -уск- (-iūsk-) указывает на принадлежность или уменьшительность, поэтому Лапиускас — это «сын Лиса» или «маленький Лис». Соответственно, Лапиукая — «дочь Лиса» или «жена Лиса».

Фамилия почти наверняка происходит из региона, где говорят по-литовски: это современная Литва или приграничные районы Беларуси и Польши (так называемая Сувалкщина, Виленщина). В XIX веке литовские фамилии нередко русифицировали, но Лапиукая сохранила литовское окончание — значит, либо носители оставались на этнических литовских землях, либо фамилию зафиксировали в документах уже в XX веке, когда русификация ослабла.

В русском контексте фамилия может встречаться у потомков литовцев, переселившихся в Сибирь или на Дальний Восток в ходе столыпинской реформы или депортаций 1940-х годов. Встречается она крайне редко — носителей можно пересчитать по пальцам, и большинство из них живёт в Литве или среди литовской диаспоры. Аналог среди русских фамилий — Лисов или Лисицын, но с точным указанием на женский пол, что для русского уха звучит непривычно.