Фамилия Ларюшкинаа — редкий случай, когда написание само по себе становится главной загадкой. Двойная «а» на конце нехарактерна для русских фамилий, где стандартными окончаниями выступают -ов, -ев, -ин, -ский или, в женском роде, -а. Скорее всего, перед нами не опечатка, а фиксация фамилии в форме, которая могла возникнуть при переписи, в паспортном столе или при записи со слуха: двойное «а» могло появиться из-за ударения на последний слог (Ларюшкина́) или как графический курьёз. В любом случае, основа фамилии — Ларюшкин, а конечное «а» — это либо женский вариант (Ларюшкина, но с дублем), либо искажение.

Если отбросить странное окончание, перед нами типичная русская фамилия, образованная от имени или прозвища через суффикс -ин. В основе лежит имя Ларя — краткая форма от Иларион (в просторечии Ларион) или от Лавр. Иларион — греческое имя, означающее «тихий, радостный», Лавр — от латинского «лавр», символ победы. В русской народной среде имя Ларя было распространено, и от него пошли многочисленные фамилии: Ларин, Ларионов, Лариошин, Ларюшин, Ларюшкин.

Суффикс -ушк- в основе Ларюшкин — уменьшительно-ласкательный. Он указывает, что фамилия пошла от домашнего, семейного прозвища: Ларюшка — так могли называть мальчика или взрослого мужчины по имени Ларя в кругу близких. Такие формы с суффиксом -ушк- характерны для северных и центральных областей России, где любили «уменьшительные» прозвища, которые потом закреплялись за потомками. Таким образом, Ларюшкин — это «сын Ларюшки», то есть потомок человека, которого в быту звали ласково Ларюшкой.

Версия с тюркским или финно-угорским корнем маловероятна: фамилия чётко вписывается в славянскую словообразовательную модель, и никаких иноязычных параллелей для «лар-» в этом контексте не прослеживается. Социально предки Ларюшкиных, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми — фамилии на -ин от кратких имён типичны для непривилегированных сословий, где прозвища давались по имени отца без отчественной формы.

Итог: фамилия Ларюшкинаа (в нормативном виде Ларюшкин или Ларюшкина) происходит от имени Ларя (Иларион или Лавр) через ласкательную форму Ларюшка. Двойное «а» на конце — скорее всего, ошибка записи или редкий диалектный вариант, не меняющий сути.