Фамилия Лавинсков — редкая и с точки зрения словообразования неочевидная. На первый взгляд она напоминает типичную «географическую» фамилию на -ский, которые в России чаще всего давались по названию поместья или местечка. Однако здесь есть важная деталь: суффикс -ск- присоединяется к основе, оканчивающейся на -ин, что для русских фамилий нетипично. Обычно мы видим либо Лавинский (от Лавино, Лавин), либо Лавинков (от Лавинка). Лавинсков же — словно гибрид, где к уже готовой фамилии Лавин приклеили дворянский формант -ский, либо перед нами трансформированная форма от более длинного топонима вроде Лавинск.

Самая вероятная версия происхождения — польская или белорусская основа. В польском языке фамилии на -ский (-ski) носят массовый характер, а звук «в» в середине мог появиться как протетический (вставной) при адаптации. Исходный корень — «лава»: в славянских языках это не только геологическое понятие, но и скамья, прилавок, а в старой Польше — «лавник» (член городского совета, присяжный заседатель). Таким образом, предок Лавинсков мог быть лавником — выборным судьёй или заседателем в магистрате. Фамилия Лавинский (от которой Лавинсков — патронимическая или посессивная форма) хорошо известна в Польше и на Западной Украине, а её носители относились к шляхте или мещанству.

Второй, более прозаичный вариант — прозвище от глагола «лавить» (ловить, хватать) или диалектного «лавина» в значении «толпа, скопление». Но для фамилии на -ский такая бытовая основа встречается реже: обычно -ский прирастает к географическим названиям. Поэтому версия с «лавником» — самая надёжная.

С географией сложно: фамилия Лавинсков крайне малочисленна. В современных базах данных она встречается единично, в основном на севере России (Архангельская область) и в Сибири. Это может говорить о переселении польских или белорусских ссыльных или одиночной миграции в XIX веке. Написание с конечным -ов, а не -ий, выдаёт русификацию: польское Лавински превратилось в Лавинсков по аналогии с русскими фамилиями на -ов.

В итоге: скорее всего, ваш предок носил польскую фамилию Лавинский (от «лавник» — член суда или совета), а при переходе в русскую среду к ней добавили типичный русский суффикс -ов, закрепив форму Лавинсков.