Фамилия Лэбедев — один из тех случаев, когда написание искажает историю. Сразу скажем: в русском языке нет исконной фамилии с буквой «э» после «л». Перед вами либо опечатка, либо сознательная замена, либо — что вероятнее — запись иностранной фамилии кириллицей. Исходная русская фамилия — Лебедев, от слова «лебедь». Она входит в десятку самых частых русских фамилий, и её образование прозрачно: суффикс -ев присоединили к основе прозвища или нецерковного имени Лебедь. Такие имена от птиц давали в древности по внешности или характеру: белый, статный, гордый человек.

Почему же появилось «Лэбедев»? Вариант с «э» мог возникнуть при передаче фамилии из языков, где твёрдый «л» перед «е» требует отдельного знака (например, в украинском, белорусском или в старой орфографии). Другая версия — сознательная русификация нерусской фамилии вроде Lebedev, которую записали на слух с твёрдым произношением. В любом случае, носитель фамилии Лэбедев с высокой вероятностью имеет предков, носивших фамилию Лебедев, но по каким-то причинам закрепивших написание с «э» — в паспорте, метрике или при переезде.

Словообразовательная модель здесь та же, что и у других «птичьих» фамилий: Голубев, Воробьёв, Соколов. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «сын Лебедя» или «из рода Лебедя». Социальный состав носителей исходной фамилии был пёстрым: Лебедевы встречались и среди крестьян (прозвище могло даваться за стать или походку), и среди духовенства (семинарские фамилии часто брали от благозвучных названий птиц). В случае с Лэбедевым сословная принадлежность неясна, но если это искажённая русская фамилия, то предки могли быть кем угодно — от крепостного до священника.

Географически фамилия Лэбедев редка. В современных базах данных она встречается единично, чаще всего у людей, чьи предки жили на юге России или в Белоруссии, где твёрдое произношение «л» перед «е» — норма. Если же вы встретили эту фамилию в старых документах, стоит проверить, не описка ли писаря: в дореволюционных записях букву «ять» иногда путали с «е», а «э» использовали редко.

Итог прост: корень у фамилии один — лебедь. А написание с «э» — это либо историческая случайность, либо региональная особенность, либо сознательное желание предков выделиться. Никакой другой этимологии у слова «лэбедь» в русском языке нет.