Фамилия Лемыш — редкая, и её происхождение неочевидно. В русском языке нет слова «лемыш» в значении «человек», но есть слово «лемех» (лемеш) — часть плуга, сошник. От него и образована фамилия, только не напрямую, а через профессиональное прозвище или через искажение в произношении.

Вероятнее всего, Лемыш — это фонетический вариант фамилии Лемеш или Лемешев. В южнорусских и украинских говорах «лемеш» — это тот, кто делает лемехи, то есть кузнец-плужник, или же сам плуг. Суффикс -ыш (как в «глупыш», «малыш») здесь не уменьшительный, а скорее указывает на носителя признака: «лемыш» — человек, имеющий отношение к лемеху. В белорусском языке слово «лямеш» означает «сошник», и фамилия Лемыш могла закрепиться в западных регионах.

Менее правдоподобная, но возможная версия — связь с литовским или польским корнем. В литовском есть слово lėmti — «судить, предопределять». Тогда прозвище Лемыш мог получить человек, которого считали вещим или судьёй. Однако для русской фамилии такая основа нетипична, и первая версия — от орудия труда — выглядит убедительнее.

Суффикс -ыш встречается в русских фамилиях нечасто. Обычно он оформляет прозвища (Малыш, Голыш), но редко переходит в наследственную фамилию. Это дополнительно указывает на то, что Лемыш — скорее всего, усечённая форма от Лемешев или Лемеш, где конечный суффикс отпал, а -ыш закрепился как окончание. В документах XIX века фамилия могла записываться по-разному: Лемеш, Лемыш, Лемешев — в зависимости от говора писаря.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Украине, а также к Беларуси. Встречается в Черниговской, Полтавской и Курской губерниях. Сословно носители — скорее всего, крестьяне или ремесленники, связанные с сельским хозяйством и кузнечным делом.

Итог: Лемыш — профессиональное прозвище кузнеца или пахаря, закрепившееся как фамилия через диалектное произношение.