Фамилия Лемиш образована от украинского слова «леміш» — режущая часть плуга или сохи. Это прямое указание на род занятий: основатель рода мог быть либо крестьянином-земледельцем, который пахал землю, либо мастером, ковавшим и чинившим сошники. Такие «профессиональные» прозвища часто закреплялись за семьями ремесленников и хлеборобов, передаваясь детям уже как фамилия.

Менее вероятная версия связывает прозвище с диалектным глаголом «лемешить» — ходить медленно, вперевалку, как ходили за сохой. В этом случае Лемишем могли назвать человека с неторопливой, размеренной походкой. Однако первое объяснение выглядит убедительнее: орудие труда — более наглядный и распространённый источник для прозвищ, чем редкий глагол.

Обратите внимание на суффикс. В отличие от типичных русских фамилий на -ов/-ев или -ин, украинские и белорусские фамилии нередко сохраняют исходное прозвище без изменений: Лемиш, а не Лемишев. Это указывает на юго-западное происхождение фамилии — с территории современной Украины или Беларуси. Встречается она и в Польше (Lemisz), что подтверждает западнорусские корни.

Среди однокоренных фамилий — Лемешко, Лемешевский, Лемещук. Все они образованы от того же «лемеш» (леміш), но с разными суффиксами, характерными для разных регионов. Если Лемиш — это «чистое» прозвище, то Лемешко — уже уменьшительная форма, а Лемещук — указание на сына или ученика мастера.

В словарях украинских прозвищ и фамилий (например, в работах Ю. Редько) слово «леміш» фиксируется как распространённое именование пахаря или кузнеца по плугам. Так что, скорее всего, ваш предок был человеком, чья жизнь была связана с землёй — либо он её пахал, либо ковал для неё орудия.