Фамилия Ливанкина — женская форма фамилии Ливанкин, а та, в свою очередь, образована с помощью типичного русского притяжательного суффикса -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: Ливанкин — «чей?» — «сын (или потомок) Ливанки». Значит, ключ к разгадке — в основе «Ливанк-», которая восходит к прозвищу или мирскому имени предка.

Самая вероятная версия связывает фамилию с названием города Ливны (ныне в Орловской области). Жителей Ливен в старину называли «ливнами» или «ливанцами», а уменьшительно-пренебрежительно — «Ливанка». Так могли прозвать выходца из этого города. Ливны — город старинный, известный с XII века, и его уроженцы, переселяясь в другие места, нередко получали прозвище по месту прежнего жительства. Фамилии на -ин, образованные от названий городов, — явление распространённое (ср. Калугин, Тверитин, Москвин), и Ливанкин вписывается в этот ряд.

Менее вероятна, но не исключена версия от нецерковного имени Ливанка, которое могло быть образовано от слова «лива» — так в южных и западных говорах иногда называли иву, ветлу. В таком случае прозвище могло относиться к человеку, живущему у ивовых зарослей или внешне напоминающему иву (гибкий, плакучий). Однако связь с топонимом Ливны выглядит убедительнее: город дал фамилию, которая встречается именно в тех краях, откуда шла миграция ливенцев.

Фамилия Ливанкина — не самая частая, что говорит о её локальном происхождении. Она могла закрепиться в среде крестьян или мещан, которые после отмены крепостного права в 1861 году получали фамилии по прозвищам или по месту выхода. Встречается она преимущественно в центральной России и Поволжье, куда в поисках земли уходили переселенцы из Орловской губернии.

Таким образом, если вы носите фамилию Ливанкина, ваши предки, скорее всего, происходили из города Ливны или его окрестностей, а сама фамилия — это память о малой родине, закреплённая в родовом имени. Другие версии — от имени Ливанка (растение) или от неканонического имени — возможны, но менее обоснованы исторически.