Фамилия Ливан — редкий случай, когда географическое название стало фамилией без всяких суффиксов и адаптации. В русской ономастике такие «чистые» топонимические фамилии встречаются нечасто, и их происхождение почти всегда требует оговорок.

Самый прямой путь — прозвище по месту рождения или долгого жительства. Ливаном могли назвать человека, который побывал в Ливане (в Сирии или на Ближнем Востоке) или торговал с теми краями. В XVIII–XIX веках русские купцы и паломники, добиравшиеся до Святой земли, иногда получали такие «экзотические» прозвища, которые потом закреплялись в фамилиях. Однако массового переселения из Ливана в Россию не было, поэтому эта версия годится скорее для единичных случаев.

Другая гипотеза — искусственное происхождение. В духовных семинариях в XIX веке ученикам нередко давали фамилии по библейским или церковно-географическим названиям. Ливан (гора Ливанская) многократно упоминается в Ветхом Завете, так что фамилия могла возникнуть за письменным столом семинарского начальства. Такой способ образования типичен для фамилий духовенства: красиво, книжно, без привязки к реальному месту жительства предка.

Третий вариант — случайное совпадение с фамилией на -ан. В ряде говоров (например, на юге России или в Белоруссии) суффикс -ан мог прикрепляться к основам, образуя прозвища: Ливан могло произойти от «ливый» (левый) или от личного имени Лив (краткая форма от Ливерий или Филипп). Но это уже догадки без твёрдой опоры, так как массовых следов такой модели в источниках нет.

Словообразовательно фамилия стоит особняком: нет ни патронимического суффикса -ов/-ев, ни -ин. Это нетипично для русских фамилий крестьянского и дворянского сословия, но нормально для поздних искусственных фамилий (семинарских) или для фамилий из западных регионов, где бессуффиксные формы встречались чаще.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В дореволюционных справочниках и переписях Ливан почти не фиксируется, что тоже склоняет к версии о семинарском или единичном прозвищном происхождении. Если ваши предки не были выходцами с Ближнего Востока, скорее всего, фамилию дали по книжному названию горы Ливан — в семинарии или при записи вольному переселенцу.