Фамилия Логимахов — редкая и, на первый взгляд, неочевидная по значению. Чтобы понять её происхождение, нужно посмотреть на неё не как на слово, а как на конструкцию: основа плюс суффикс. Здесь суффикс — -ов, самый распространённый в русских фамилиях, указывающий на принадлежность («чей?»). Значит, корень — Логимах.

Самая вероятная версия: в основе лежит неполное церковное имя Логин (каноническая форма — Лонгин, от латинского longus — «длинный»). В народном произношении имя Логин нередко трансформировалось в Логим, а затем для придания фамильной формы добавили -ах. Суффикс -ах в русских фамилиях встречается редко, но он характерен для прозвищных и уменьшительных форм (сравните: Миша — Мишаха, Гриша — Гришаха). То есть Логимах — это сначала ласковое или просторечное прозвище человека по имени Логин, а уже от этого прозвища образовалась фамилия.

Есть и более простая, бытовая версия: фамилия могла возникнуть от прозвища Логимах, данного человеку, который постоянно «логи махал» — то есть занимался какой-то работой, связанной с рычагами, вёслами или, в переносном смысле, с маханием руками. Однако эта гипотеза слабее: слово «лог» в значении «рычаг» или «весло» в русских говорах не зафиксировано широко, а глагол «махать» с таким корнем не складывается в устойчивое прозвище. Имя Логин даёт гораздо более надёжное и логичное объяснение.

Географически фамилия Логимахов тяготеет к южнорусским областям, в частности к Ростовской области и Краснодарскому краю. Встречается она нечасто, поэтому её носители, скорее всего, потомки одного или нескольких родов, вышедших из казачьей или крестьянской среды. Никаких дворянских корней у фамилии нет — это типичная крестьянская фамилия, образованная от имени или прозвища предка.