Фамилия Ляшутина — женская форма фамилии Ляшутин. В основе, скорее всего, лежит прозвище Ляшута. Суффикс -ут(а) характерен для восточнославянских, особенно украинских и белорусских, именований: он придаёт слову оттенок уменьшительности или принадлежности. Исходное слово — «ляш» или «лях». Так на Руси называли поляков, а шире — католиков или вообще чужака с запада. Прозвище Лях было распространено повсеместно, и от него образовались десятки фамилий: Ляхов, Ляшенко, Ляхович. Ляшута — это, по сути, «маленький лях» или «сын ляха». Не обязательно, что предок был поляком по крови: так могли прозвать человека, который носил польскую одежду, говорил с характерным акцентом или просто был с западных земель.

Слово «лях» в древнерусском языке не всегда имело этническую окраску. В новгородских и псковских говорах, например, «ляхом» называли любого бродягу или скомороха, а в рязанских — мелкого беса. Поэтому вторая версия, хотя и менее вероятная, связывает фамилию не с поляками, а с диалектным «ляшить» — бродяжничать, шататься без дела. Тогда Ляшута — прозвище непоседливого человека, бродяги.

Географически фамилия Ляшутины тяготеет к югу России и Украине, а также к Смоленщине и Брянщине — областям, где веками шло смешение с польским населением. Форма с суффиксом -ин указывает на «принадлежность»: Ляшутин значит «сын Ляшуты». В документах XVII–XVIII веков встречаются однокоренные фамилии в реестрах казаков и крестьян левобережной Украины. В дворянских родословных Ляшутины не значатся — фамилия почти наверняка крестьянская или мещанская.

Если ваш предок носил эту фамилию, он мог быть либо выходцем из западнорусских земель, получившим прозвище по этническому признаку, либо потомком человека с неспокойным нравом. В любом случае, корень фамилии — не в родовом имени, а в бытовом прозвище, что типично для большинства русских фамилий «второго слоя», сложившихся в XVI–XVII веках.