Фамилия Люлюшкин — один из тех случаев, где основа угадывается с трудом, а суффикс сразу указывает на способ образования. Суффикс -ин здесь первичен: он принадлежит к патронимической модели «чей?» и означает, что фамилия образована от личного имени или прозвища отца — Люлюшка. То есть предка звали не Люлюшкин, а Люлюшка, а его дети стали Люлюшкиными.

Самое интересное — что скрывается за основой «Люлюш-». Здесь возможны два корня, и оба ведут в народную речь. Первый — звукоподражательный: «люлю» в русских говорах связано с убаюкиванием, колыбельной (ср. «люли-люли», «люлька»). В этом случае Люлюшкой могли прозвать человека с тихим, ласковым голосом, певуна или няньку, а может, и того, кто сам часто мурлыкал что-то себе под нос. Вторая версия — от диалектного глагола «люлюкать», то есть болтать, говорить пустое или льстить. Тогда прозвище Люлюшка получал говорун, лесть или человек, которого не воспринимали всерьёз.

Словообразовательная модель проста: корень «люлюк-/люлюш-» (с чередованием к/ш, как в «рука — ручка») + уменьшительный суффикс -к- (Люлюшка) + патронимический -ин. Фамилия явно недворянская, крестьянская или мещанская, и географически она редкая. Картотека русских фамилий фиксирует её преимущественно в центральных и северных областях, но массового распространения нет — это скорее локальное прозвание, которое закрепилось в одной-двух волостях.

Обратите внимание на орфографию: в современном написании две буквы «ю» подряд — «Люлюшкин» — выглядят непривычно, но это точная передача исходного звучания. В дореволюционных записях могла встречаться форма «Люлюшкын» (с «ы» после «ш» по старой орфографии), но утвердился вариант на «-ин».

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Люлюшкин стоит в одном ряду с Люлькиным (от «люлька» — колыбель) и Люлюковым (от «люлюк» — говорун). Но у Люлюшкина есть своя особенность: суффикс -к- в основе указывает на уменьшительно-ласкательную форму, а значит, прозвище давали не со зла, а скорее с добродушной иронией или нежностью.