Фамилия Лютягин — довольно редкая, и в её основе лежит прозвище, связанное с характером или внешностью. В центре внимания — корень «лют-», который в древнерусском языке означал «свирепый, жестокий, злой, сильный». От него образовано множество слов: «лютый», «лютовать», «лютость». Скорее всего, Лютягой называли человека с суровым, крутым нравом, либо того, кто отличался неукротимой силой и напором. В некоторых говорах «лютый» могло означать и «горячий, вспыльчивый», что тоже укладывается в эту картину.

Словообразовательная модель проста и прозрачна. Прозвище Лютяга (от «лютый» с суффиксом -яг-, который часто придавал слову оттенок носителя признака) легло в основу фамилии. Далее добавился типичный русский патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей?» — Лютягин, то есть сын Лютяги, потомок Лютяги. Это одна из самых распространённых моделей в русской ономастике, характерная для фамилий, образованных от слов мужского рода на -а/-я.

Интересно, что фамилия Лютягин не встречается среди дворянских родов и не фиксируется в старых боярских списках. Это указывает на её крестьянское или посадское происхождение. Носители такой фамилии, скорее всего, были вольными или крепостными крестьянами, ремесленниками или служилыми людьми «по прибору» (стрельцами, пушкарями), получившими прозвище за свой нрав. Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России: есть исторические записи о крестьянах Лютягиных в Вологодской, Костромской и Вятской губерниях.

Стоит упомянуть редкую, но возможную версию: связь с диалектным словом «лютяга» — так в некоторых местах называли болотную топь, зыбкое место. В этом случае прозвище мог получить человек, живший у такого болота или имевший с ним дело (например, торфяник). Однако эта версия менее вероятна, так как прозвища от черт характера в русской традиции встречаются гораздо чаще, чем топографические. В любом случае, фамилия Лютягин — это прямой и недвусмысленный портрет предка, чья крутая натура или недюжинная сила запомнилась окружающим и закрепилась в родовом имени.