Фамилия Меряшкин — редкий случай, когда за основу взято слово, которое в современном русском языке почти исчезло, но в XVI–XVII веках было вполне обиходным. Корень здесь — «меряшка». В диалектах, особенно северных и волжских, так называли мелкую лесную дичь: рябчика, тетерева, иногда куропатку. Слово образовано от глагола «мереть» (в значении «мелькать, пестреть») — из-за пёстрого оперения птицы. Выходит, Меряшкин — это «сын Меряшки», а Меряшка — прозвище либо охотника на такую дичь, либо самого человека, чем-то похожего на рябчика: невысокого, пёстро одетого или быстрого.

Суффикс «-ин» указывает на типичную восточнославянскую модель «чей?»: Меряшкин — из рода Меряшки. Это одна из самых древних и массовых форм русских фамилий, характерная для недворянских слоёв — крестьян, посадских, служилых людей низшего ранга. В отличие от фамилий на «-ов/-ев», которые могли давать по отцу (Иван — Иванов), «-ин» чаще цеплялся к прозвищам на «-а/-я» (Меряшка, Гаврила, Фома). Социальный потолок для такой фамилии — купечество или зажиточное крестьянство; в родословные книги дворян Меряшкины, скорее всего, не попали.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку: Вятка, Пермь, Костромская губерния. В переписях XVII века «Меряшка» как прозвище встречается именно в этих краях, где охота на боровую дичь кормила многие деревни. Кстати, есть и однокоренные фамилии — Меряков (от «меряк» — житель земли мери, финно-угорского племени), но Меряшкин с мерянами не связан: тут чисто птичье прозвище, а не этноним.

В XIX веке фамилия могла писаться через «я» или «е» — Меряшкин или Мерешкин, в зависимости от местного произношения. Встречаются и варианты с ударением на второй слог (Меря́шкин) и на третий (Меряшки́н), что тоже характерно для диалектов. Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка жили в лесной полосе, а их ремесло было связано с охотой или птицеловством.