Фамилия Мезякаева — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа, Мезяк, не встречается в современных словарях личных имён, а значит, перед нами либо прозвище, либо адаптация иноязычного слова. Чтобы разобраться, смотрим на суффикс: -аев — это фонетический вариант суффикса -ев, который присоединяли к основам, оканчивающимся на согласный (включая мягкий). Фамилии на -аев характерны для тюркской и кавказской ономастики, где русский суффикс приращивали к местным именам, прозвищам или этнонимам.

Самая вероятная версия: Мезяк — это русифицированная форма тюркского имени или прозвища. В тюркских языках есть корень мез (например, в кумыкском «мез» — «мозг», «толк»; в ногайском «мез» — «смысл», «память»). Если к нему добавить уменьшительный аффикс -ак/як, получится «Мезяк» — «толковый», «умный», «смышлёный». Такое прозвище могли дать человеку за сообразительность или рассудительность. Подобная модель словообразования встречается в тюркских фамилиях Поволжья и Северного Кавказа: например, Биктемиров, Кунакбаев.

Вторая, менее убедительная гипотеза связывает Мезяк с диалектным русским словом. В некоторых говорах Вологодчины и Архангельской области «мезяк» — это «мезга», внутренняя часть коры дерева, или «мездряк» — тонкая плёнка под кожей. Но такое прозвище звучало бы как Мездряк, а форма Мезяк могла возникнуть из-за редукции согласных. Однако эта версия слабее: фамилия почти не встречается на Русском Севере, а география современных носителей (по данным открытых источников) тяготеет к югу России и Кавказу.

Фамилия Мезякаева — женская форма; мужская — Мезякаев. По модели образования она относится к патронимическим (по отцу): «чей?» — Мезякаев, то есть сын Мезяка. Сословных ограничений у неё нет: такие фамилии встречались и у крестьян, и у казаков, и у горожан, если их предки получали прозвища на тюркской основе. В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксируется в Астраханской, Ставропольской губерниях и в Терской области — регионах, где русское население веками соседствовало с тюркскими и кавказскими народами.

Если коротко: ваш предок по мужской линии, скорее всего, носитель тюркского прозвища Мезяк («умный», «толковый»), живший в южнорусских или кавказских землях. Фамилия не древняя (XIX век), но сохранила редкую основу, которую не спутать с более частыми Мезенцевыми или Мезяковыми.