Фамилия Минских — редкий пример «застывшей» топонимической формы, которую стоит разбирать не с корня, а с суффикса. Окончание -их (в родительном падеже множественного числа) указывает на северорусскую модель образования фамилий, типичную для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний и Сибири. Такие фамилии отвечали на вопрос «чьи?» и обозначали принадлежность целой семье или роду: Минских — «из семьи Минских», где родоначальника звали Минской или Минский.

Основа Мин- восходит к названию города Минск. Однако вряд ли предок был выходцем из белорусской столицы в прямом смысле: в XVI–XVII веках «минским» могли называть человека, переехавшего из Минска или Минского воеводства, но чаще так закреплялось прозвище за тем, кто торговал с этими землями или носил одежду «минского покроя». Более точная версия — фамилия могла возникнуть от названия деревни Минское или Минская, которых немало в центральной России (например, в бывшей Тверской губернии). В таком случае предок — крестьянин или однодворец из этого селения.

Показательно, что форма на -их почти не встречается у дворянства: это «народная», крестьянская или мещанская модель. В XIX веке фамилия Минских фиксируется в метрических книгах Вятской и Пермской губерний — регионах, куда ссылали и где оседали старообрядцы. Возможно, носители фамилии — потомки переселенцев с северо-запада Руси.

Сравните с однокоренными Минский, Минской, Минских — последняя сохранила древнюю падежную форму, которую в советское время часто «исправляли» на стандартные -ов или -ин, но в ряде семей её удержали. Если вы Минских, ваша фамилия — живой маркер северорусской диалектной традиции, а не просто указание на город.