Фамилия Мищенко-Бродская — двойная, и её части рассказывают две разные истории: одна ведёт к личному имени, другая — к месту жительства. Разберём по порядку.

Первая часть, Мищенко, восходит к крестильному имени Михаил. В переводе с древнееврейского оно означает «благонравный», хотя чаще говорят «кто как Бог». Форма Мищенко — типично украинская, с уменьшительно-ласкательным суффиксом -енко, который в старой Украине означал «сын» или «потомок». То есть Мищенко — буквально «Мишин сын», «наследник Михаила». Возможно и другое прочтение: так могли прозвать человека, родившегося в день Архангела Михаила, который церковь отмечает 8 ноября. В народном календаре этот праздник считался важной вехой, и имя ребёнку часто давали в честь святого, чья дата была близка к рождению.

Вторая часть, Бродская, — совсем иного свойства. Она образована от прозвища Бродский, которое указывало на место жительства основателя рода: у речного брода. Словарь Владимира Даля определяет брод как «мелкое место во всю ширину реки, залива, озера, где можно перейти или переехать». Такие места были стратегически важны: через них шли дороги, у них возникали переправы, а значит — селились люди. Прозвище Бродский получал тот, кто жил у такого перехода, владел им или держал перевоз. Суффикс -ск- в этой части фамилии — типичный для польской и западнорусской традиции, он часто указывал на географическую привязку: человек из такого-то места.

Сама по себе двойная фамилия Мищенко-Бродская — явление не массовое. Такие сочетания обычно возникали в дворянских или интеллигентских семьях, когда к основной фамилии добавляли фамилию матери или более древнего предка, чтобы сохранить память о другом роде. В этом случае носитель соединил украинскую патронимическую линию (Мищенко) с польско-еврейской или западнорусской географической (Бродская). Встречается и обратный порядок — Бродский-Мищенко, но закреплённый вариант говорит о том, что первая часть была основной.

Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из смешанной семьи: с одной стороны — украинские корни, с другой — человек, чьи предки жили у брода на реке, возможно, в черте оседлости, где фамилия Бродский была распространена среди еврейского населения. Но не стоит торопиться с выводами: прозвище Бродский встречалось и у русских, и у поляков, и у белорусов.

Интересная деталь: вторая часть фамилии, Бродская, в старых документах могла писаться через «а» — Брадская, как следствие аканья. Но современное написание закрепилось с «о», что ближе к книжной традиции. Сама фамилия не древняя — двойные фамилии в основной массе формировались в XIX — начале XX века, когда после реформ Александра II у многих появилась возможность официально закрепить за собой вторую часть. Так что носитель Мищенко-Бродской — человек с двойной памятью: об имени предка-Михаила и о реке, через которую его род переправлялся века назад.