Фамилия Мишын — редкий случай, когда написание через «ы» не ошибка, а сознательный или исторический вариант. Стандартная русская модель образования фамилий от имени Михаил даёт Мишин (с суффиксом -ин). Форма Мишын встречается в двух основных ситуациях: либо это результат поздней фиксации фамилии в документах, когда писарь записал на слух «ы» вместо «и» (в некоторых говорах эти звуки совпадали), либо перед нами украинская или белорусская адаптация, где «и» переходит в «ы» (сравните: Мишин — Мишин, но по-украински могло записаться как Мишин).

Основа фамилии — уменьшительная форма имени Михаил. В народной среде имя Михаил дало множество производных: Миша, Мишутка, Мишук, Мишаня. От краткой формы Миша с помощью притяжательного суффикса -ин и образовали фамилию: Мишин (или Мишын) буквально означает «сын Миши», «принадлежащий Мише». Имя Михаил в переводе с древнееврейского означает «кто как Бог», но к фамилии это имеет лишь косвенное отношение — на Руси оно было одним из самых распространённых, поэтому и фамилий от него десятки: Михайлов, Михайлин, Мишуков, Мишагин.

Географически фамилия Мишын тяготеет к южнорусским и украинским регионам. В переписях XIX века такая запись встречается в Курской, Воронежской губерниях, а также среди казачества. Если ваш предок носил фамилию Мишын, скорее всего, он был из крестьянской или мещанской среды — дворянских родов с таким написанием не зафиксировано. В современных справочниках фамилия считается редкой: по данным открытых баз, в России живёт не более нескольких сотен носителей.

Любопытная деталь: в некоторых старых документах одну и ту же семью могли записывать то как Мишин, то как Мишын — это зависело от грамотности писаря и местных диалектных норм. Поэтому, если вы ищете своих предков, имеет смысл проверять оба варианта написания.