Фамилия Мишына — это женская форма, но в основе лежит мужская фамилия Мишин (или Мишын, в зависимости от диалектного произношения). Она относится к самому распространённому типу русских фамилий — «патронимическим», то есть образованным от имени или прозвища отца. В данном случае корень — «Миш-», а суффикс «-ин» указывает на принадлежность: буквально «чей?» — «Мишин», то есть сын, потомок Миши.

Казалось бы, всё прозрачно: Миша — уменьшительная форма имени Михаил. Однако здесь есть тонкость, которую часто упускают. В русских говорах (особенно северных и рязанских) «Миша» могло быть не только от Михаила, но и от имени Дмитрий. В некоторых местностях Дмитрия в быту звали Митей, но существовал и вариант «Миша» — по аналогии с тем, как «Митя» переходило в «Миня», а затем в «Миша». Это редкий, но задокументированный в ономастике случай. Так что предок носителя фамилии Мишин мог с равной вероятностью носить имя Михаил или Дмитрий.

Сама фамилия Мишин (и, соответственно, Мишына) — одна из самых частых в России, особенно в центральных и северных областях. А вот написание через «ы» (Мишына) — нетипичное для литературной нормы. Обычно после «ш» пишут «и», а не «ы», но в дореволюционных документах и в просторечии встречались варианты вроде «Мишын», «Мишына». Если вы встретили именно такое написание, скорее всего, это следствие местного произношения (например, «оканье» или «ыканье») либо ошибка писаря, которая закрепилась в паспорте. Такие «неправильные» с точки зрения орфографии формы — ценный материал для историка: они точно указывают на регион, где фамилия была записана.

Социального барьера у фамилии не было: Мишиными могли быть и крестьяне, и мещане, и духовенство. Известных дворянских родов Мишиных в истории практически нет — это фамилия простонародная, что, впрочем, не делает её менее древней. Первые упоминания в писцовых книгах относятся к XV–XVI векам.