Фамилия Митяеа — редкий случай, где ошибка в написании (вероятно, вместо Митяева) становится самостоятельной загадкой. Если это не опечатка переписчика, то перед нами пример «окающего» произношения, закреплённого на письме: в южнорусских говорах безударное «о» после мягкого согласного могли записать как «а». Но куда интереснее разобрать основу — Митяй.

В основе фамилии лежит разговорная форма канонического имени Дмитрий — Митяй. Суффикс -яй в русских прозвищах часто указывал на носителя яркой черты или привычки (ср. Гуляй, Лентяй). Митяем могли назвать не просто сына Дмитрия, а человека с весёлым, «разгульным» нравом, либо того, кто постоянно мельтешил, суетился — от глагола «мититься» (мелькать, маячить). В словаре В. Даля зафиксировано слово «митюха» — простоватый, ротозей, что тоже могло стать прозвищем.

Словообразовательная модель проста: прозвище Митяй + суффикс принадлежности -ев (чей? — Митяев сын). Фамилия на -ев, а не на -ин, потому что основа оканчивается на -й, а не на твёрдый согласный. Форма Митяеа с ударением на последний слог (Митяеа́) могла появиться в документах XIX века, когда писарь на слух записывал фамилию крестьянина, говорившего «Митяёв» — и передал это через «а». Такие искажения нередки в метрических книгах Курской, Воронежской и Тамбовской губерний.

Носители фамилии Митяеа (и её нормативного варианта Митяев) исторически относились к крестьянскому сословию. В ревизских сказках XVIII века встречаются записи о Митяевых из Одоевского уезда Тульской губернии и из-под Ельца. Примечательно, что в некоторых переписях фигурирует написание «Митяевъ» с твёрдым знаком, а в советских паспортах 1930-х годов у той же семьи могло появиться окончание -а. Если вы встретили именно вариант Митяеа, скорее всего, это «застывшая» ошибка писаря, которая стала родовой фамилией — и теперь отличает вашу ветвь от более распространённых Митяевых.