Фамилия Мижеева — женская форма, мужская — Мижеев. В основе лежит имя или прозвище Мижей, а оно, скорее всего, восходит к каноническому имени Михей. Михей — древнееврейское имя, означающее «подобный Богу» или «кто как Бог». В русской народной среде имя не раз перекроили: Михей превращался в Михея, а в диалектах — в Мижея. Звуковой сдвиг «х» в «ж» в данном случае не редкость: так же, как из «Михей» получился «Мижей», из «Сава» могло выйти «Сажа», из «Пахом» — «Пажом». Поэтому Мижеев — это, по сути, тот же Михеев, но с местным произносительным оттенком.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Мижеев — сын Мижея. Такая модель была типична для крестьянских и мещанских фамилий центральной России, где отчество в форме притяжательного прилагательного закреплялось за семьей. В отличие от фамилий на -ин, которые чаще образовывались от основ на -а/-я, фамилия Мижеев подчиняется правилу: если основа оканчивается на мягкий согласный или й, пишется -ев.

Интересно, что фамилия Мижеев (и Мижеева) встречается заметно реже, чем Михеев. Это говорит о том, что она могла закрепиться в конкретной местности, где «ж» вместо «х» было нормой говора. Поиск по регионам показывает, что носители фамилии чаще всего встречаются в Поволжье — в Ульяновской, Самарской областях, в Татарстане. Там в русских говорах нередко «ж» вытесняло «х» в личных именах, и форма Мижей была вполне обыденной.

Если же отбросить версию с именем Михей, остается редкая возможность: прозвище Мижей могло возникнуть от глагола «мигать» или «мижить» (щуриться, прищуривать глаза). В этом случае Мижеем называли человека, который часто щурится, косит глазами или быстро моргает. Но эта версия менее вероятна, потому что в документах XVI–XVII веков фамилии от имени Михей в форме Мижеев уже фиксируются, а прозвищная основа «миж-» почти не встречается в старых писцовых книгах.

Таким образом, фамилия Мижеева — это диалектный вариант отчества от имени Михей. Ваш предок, скорее всего, был крестьянином или посадским человеком из среднерусской полосы, а фамилия сохранила живую народную переделку церковного имени, которая потом закрепилась в документах.