Фамилия Монолбаев — редкая и территориально привязанная к Северному Кавказу. Её основа — мужское имя Монолбай, которое бытует у балкарцев и карачаевцев. В тюркских языках «бай» означает «господин», «богач», «хозяин», а первая часть имени, «Монол», скорее всего, восходит к арабскому «мунал» — «желанный», «долгожданный». Таким образом, Монолбай — это «желанный господин», имя-пожелание, которое давали ребёнку, которого долго ждали в семье.

Фамилия образована по русской модели: к основе Монолбай добавили суффикс -ев, который в регионе закреплялся за фамилиями горских народов после вхождения в состав Российской империи. Это типичный случай, когда исконное тюркское личное имя получило русское патронимическое окончание, превратившись в фамилию. В карачаево-балкарской традиции ударение в фамилии, скорее всего, падает на последний слог — Монолба́ев, хотя в русском произношении возможны варианты.

Поскольку фамилия узко локализована, её носители почти наверняка принадлежат к одному из балкарских или карачаевских родов (тукхумов). В дореволюционное время такие фамилии не фиксировались в дворянских родословных книгах, их носители были преимущественно горцами-скотоводами или земледельцами. Сословного статуса, сопоставимого с русским дворянством, у них не было, но в горском обществе род Монолбаевых мог иметь свой вес и авторитет.

С точки зрения словообразования фамилия простая: корень Монолбай- и суффикс -ев. Встречаются однокоренные фамилии — Монолов, Монолбаев — это варианты, возникшие из-за разной записи одного и того же имени в метриках советского времени. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на селения в Кабардино-Балкарии или Карачаево-Черкесии — именно там фамилия встречается чаще всего.