Фамилия Монолий — редкая и нестандартная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые сразу указывают на принадлежность к роду. Окончание -ий, скорее, наводит на мысль об искусственном, книжном происхождении: так нередко выглядели фамилии, данные в духовных училищах и семинариях. В XIX веке будущим священникам нередко давали фамилии по латинским или греческим корням, и «Монолий» может быть таким случаем.

Первое, что приходит в голову — связь с греческим словом «монос» (один) и латинским «литус» (берег) или «лит» (камень). Однако гораздо убедительнее версия, что в основе лежит греческое «монос» + «литос» (камень) — то есть «одинокий камень» или «монолит». Слово «монолит» в русском языке известно давно, и фамилия Монолий могла быть образована от него по той же модели, что, например, фамилия Каменский — от слова «камень». Только здесь не географическая привязка, а метафорическая: прозвище «Монолит» мог получить человек твердый, несгибаемый, или же фамилию дали по названию местности, где стояла одинокая скала.

Вторая, более экзотическая версия — связь с личным именем. В греческих святцах встречается имя Монолий, но оно крайне редкое и неканоническое. Скорее всего, это не имя, а фамилия, возникшая в среде духовенства. Семинаристы, получавшие такие «говорящие» фамилии, часто носили их как знак отличия: «Монолий» звучит торжественно и книжно, что характерно для искусственных фамилий, которые давали самым способным или просто тем, кому хотели дать звучное прозвание.

Географически фамилия Монолий почти не встречается в крестьянской среде. Если она и бытует, то в единичных случаях, чаще всего на западе России или Украины, где было сильно влияние униатской и католической традиции с латинскими формами. Встретить её в старых переписях — большая удача, и каждый случай заслуживает отдельного исследования.

Таким образом, корни фамилии Монолий — книжные, искусственные. Ваш предок, скорее всего, был человеком образованным, возможно, выходцем из духовного сословия, а сама фамилия — это красивая метафора, подчеркивающая твердость или одиночество, запечатленная в латинизированной форме.