Фамилия Моновцоваы — редкий случай, когда ошибка в написании становится главной загадкой. Скорее всего, перед нами не исходная форма, а искажённая запись фамилии Моновцовы (во множественном числе) или Моновцова (в женском роде). Окончание «-аы» не встречается в русской ономастике: нормативные суффиксы — -ов, -ев, -ин, -ский, а для множественного числа — -овы, -евы, -ины. Вероятно, при заполнении документа или в бытовой записи букву «ы» дописали к уже стоящему «а», получив гибрид. Поэтому корректно говорить о фамилии Моновцов (мужская форма) и её производных.

Основа Моновцов восходит к прозвищу или имени Моновец. В русских говорах «моновец» могло означать человека, имеющего отношение к чему-то одному, единственному: отсюда связь с числительным «один» (древнерусское «монъ» — один). В диалектах встречается слово «моновый» в значении «единственный, одинокий». Возможно, прозвище давали единственному сыну в семье, вдовцу или человеку, жившему особняком. Суффикс -ов- указывает на принадлежность: Моновцов — сын или потомок Моновца.

Другая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла образоваться от топонима — названия населённого пункта вроде Моново, Моновцы. Такие названия встречаются в западных регионах России, но документальных подтверждений для фамилии Моновцов нет. Географию бытования установить сложно из-за редкости: фамилия не фиксируется в крупных справочниках (например, в словаре Б. Унбегауна или В. Никонова). В открытых источниках встречаются единичные носители в Центральной России, но данные отрывочны.

Если ваша фамилия действительно пишется как Моновцоваы, стоит проверить архивные записи — метрические книги или ревизские сказки. Вероятно, правильная исходная форма — Моновцов, а конечное «-аы» — опечатка, закрепившаяся в обиходе. В любом случае, перед нами фамилия, образованная по продуктивной модели от прозвища, и её корень говорит о чём-то единственном, уникальном в роду.