Фамилия Мотяхов — одна из тех русских фамилий, в основе которой лежит не каноническое церковное имя, а прозвище или производная форма личного имени. Разбор начинается с корня «Мот-», который в русском языке многозначен, и суффикса «-ях-», который и задаёт ключ к разгадке.

Суффикс «-ях(а)» в русской антропонимии — типичный уменьшительно-ласкательный или, реже, пренебрежительный формант. Он активно использовался в народной среде для образования обиходных форм крестильных имён. Отсюда Мотях — это, скорее всего, сокращение от Матвей (через форму Матюх, Матюша, где «т» смягчается в «ть», но на письме могло закрепиться и как «т»). В диалектах встречается вариант Матёха, Матёня, а Мотях — та же модель с другим гласным: от Матвей через промежуточное «Мотя». Аналогично: Матвей → Мотя → Мотях. В таком случае фамилия Мотяхов означает «потомок Моти», то есть Матвея.

Но есть и вторая, более редкая версия, связанная с глаголом «мотать». В русских говорах «мотя» или «мотяха» могли назвать человека суетливого, непоседливого, того, кто постоянно «мотается» туда-сюда. Либо, напротив, лентяя, который «мотает» время. Однако прозвища от «мотать» чаще давали не по характеру, а по ремеслу: мотальщик (на прядильном производстве) или человек, который мотает нитки, верёвки. В ономастическом словаре Б. Унбегауна фамилии на «-яхов» разбираются именно как патронимические, то есть от личных имён, а не от прозвищ, поэтому версия с именем Матвей выглядит предпочтительнее.

Географически фамилия редкая, встречается точечно, в основном в центральных и южных областях России, где было распространено имя Матвей и его народные формы. Встречаются также написания Мотяков (с другим суффиксом) — их не стоит путать, хотя корень один. Интересно, что «Мотях» могло быть и самостоятельным нецерковным именем, но в крестьянской среде XVII–XIX веков такие имена почти всегда восходили к крестильным.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, был Матвеем, которого в быту звали Мотях, а его дети по отцу стали Мотяховыми. Фамилия фиксирует не профессию и не внешность, а просто имя родоначальника, но в той его форме, которая сегодня почти забыта.