Фамилия Мозулякина — женская форма от Мозулякин, и её разбор стоит начать с необычного суффикса. В русских фамилиях часто встречаются -ов, -ин, -ский, но здесь мы видим редкий и диалектный суффикс -як, который в сочетании с -ин образует модель «Мозул-як-ин». Суффикс -як в восточнославянских говорах обычно придавал слову оттенок характерности или принадлежности к чему-то: например, «добряк» (добрый человек), «толстяк» (толстый). Значит, основа фамилии — прозвище или имя Мозуль, а Мозуляк — это «человек, связанный с Мозулем» или «тот, кто похож на Мозуля».

Корень «мозул» — тёмный. Скорее всего, это не общеупотребительное слово, а местное, диалектное. Можно предположить связь с глаголом «мозолить» (мозолить глаза — надоедать, или мозолить руки — работать до мозолей). Тогда Мозуль — человек, который либо был назойливым, либо много работал, имел мозолистые руки. Вторая версия — искажённое личное имя, например, Моисей в просторечной форме Мосей, Мозей, откуда могло появиться уменьшительное Мозуля. Но это менее вероятно: переход «с» в «з» в таких именах редок, хотя и возможен в говорах.

Географически фамилия Мозулякины редкая. Основной ареал — центральные и южные области России, особенно Тамбовская, Воронежская, Рязанская губернии, где были сильны диалектные формы с суффиксом -як. В переписях XIX века такие фамилии часто встречались у крестьян и однодворцев — потомков служилых людей, охранявших южные рубежи. Это не дворянская фамилия, не купеческая: её носители, скорее всего, были земледельцами или ремесленниками, а прозвище Мозуляк дали за какую-то заметную черту — трудолюбие или, наоборот, навязчивость.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить значение. Есть фамилии Мозулев, Мозулин, Мозуль — все они от той же основы. Но Мозулякин выделяется именно суффиксом -як и последующим -ин, что указывает на принадлежность: «чей?» — Мозулякин, то есть сын или потомок Мозуляка. В современных базах данных фамилия встречается единично, что подтверждает её локальный характер. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни в чернозёмных областях России, среди крестьянского населения, которое нередко получало прозвища по внешним или поведенческим признакам.