Фамилия Мяхков — редкий случай, когда написание расходится с произношением и привычной орфографией. В подавляющем большинстве источников и документов эту фамилию записывают как Мягков, от прилагательного «мягкий». Вариант через «х» — либо след старой московской орфоэпии (где «г» перед глухими согласными произносилась как [х]), либо результат диалектного произношения, закреплённого в паспорте. В любом случае, корень один: слово «мягкий» в значении «нежный, уступчивый, добрый» или, реже, «физически мягкий на ощупь». Суффикс -ов указывает на принадлежность: Мяхков — буквально «сын Мяхкого», то есть человека, носившего прозвище Мяхкой (Мягкой).

Прозвище Мягкой в старину давали человеку с покладистым характером, незлобивым нравом. В русских говорах слово имело и переносный смысл: «мягкий» — податливый, сговорчивый, иногда даже бесхарактерный. В документах XVI–XVII веков встречаются люди с таким именованием, например, крестьянин Мягкой в новгородских писцовых книгах. Позже отчество превратилось в наследственную фамилию.

Интересно, что фамилия Мяхков (через «х») встречается почти исключительно в центральных и южнорусских регионах, где аканье и особая артикуляция «г» были сильнее. В северных и сибирских областях предпочитали писать Мягков. Ономасты (в частности, Б. Унбегаун в «Русских фамилиях») относят Мягкова к группе фамилий от качественных прилагательных, но вариант Мяхков специально не выделяют, считая его орфографическим дублетом.

Социальный состав носителей был пёстрым: среди Мягковых встречались и крестьяне, и духовенство (фамилия могла быть семинарской, данной за кроткий нрав), и дворяне. Мяхковы же, судя по архивным данным, в основном числились крестьянами и мещанами. Сегодня обе формы существуют параллельно, и если ваша фамилия пишется именно через «х», вы носите редкий орфографический след живой русской речи, не подчинившейся книжной норме.