Фамилия Науринский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Суффикс -ский прямо указывает на происхождение от названия места: такую фамилию обычно получал человек, владевший имением или живший в населённом пункте с корнем «Наур-». В России и на сопредельных территориях таких топонимов немного, но они есть: например, станица Наурская в Чечне (основана терскими казаками) или село Науруз (в разных вариациях) в Поволжье и Приуралье. Владельческий вариант фамилии (когда помещик давал крестьянам фамилию по названию своего имения) здесь менее вероятен, чем прозвищный или «выезжий»: предок мог быть выходцем из этих мест, и его записали как «Науринский» — то есть «тот, кто из Наура».

Основа «Наур» не имеет однозначного славянского корня. Скорее всего, она тюркского или иранского происхождения. В тюркских языках «наур» может означать «гробница», «мавзолей» (ср. «наурыз» — новый год, но это другая основа). В иранских языках слово «наур» (nawr) связано с водой, каналом или новым руслом реки — это объяснимо для топонимов в засушливых регионах. Поэтому версия «от речки или канала» для Науринского выглядит убедительнее, чем попытки вывести фамилию из личного имени Наур (которое встречается у осетин и чеченцев, но в русской среде было бы переоформлено иначе — скорее в Науров или Науридзе).

Суффикс -инск- в русской ономастике встречается реже, чем базовый -ск-. Он может указывать на принадлежность к чему-то конкретному (чей? — Наурин, затем — Науринский), но в данном случае это, вероятно, просто прилагательное от топонима «Наура» (форма женского рода), которое закрепилось как фамилия. Сословно носители фамилии Науринский, скорее всего, относились к дворянству или духовенству (семинаристы часто получали фамилии от названий сёл и монастырей), но могли быть и однодворцами южных губерний, где такие «географические» фамилии давали и крестьянам.

Фамилия редкая: в современных базах данных она встречается единично, в основном на юге России и в Сибири (куда переселенцы привозили её в XIX–XX веках). Если ваш предок — Науринский, ищите его корни в казачьих областях Терека или в Поволжье, а не в центральной России.