Фамилия Навёрткин образована от прозвища Навёртка, а оно восходит к глаголу «навертеть». В словаре Даля у этого глагола широкое гнездо значений: «наматывать; накручивать, навинчивать; сверлить, насверливать, набуравливать». Такая многозначность оставляет простор для толкования, но почти наверняка указывает на род занятий предка. Это типичное «профессиональное» именование: прозвище закреплялось за человеком, чья работа была связана с накручиванием, навинчиванием или сверлением. Основатель рода Навёрткиных мог быть добытчиком полезных ископаемых, бурильщиком или строителем — любая из этих специальностей требовала умения «навертеть» что-либо.

Обратим внимание на суффикс. Формант -кин здесь не уменьшительно-ласкательный, а притяжательный: он отвечает на вопрос «чей?» и присоединяется к основам на -а. В русской ономастике это старая модель, по которой строятся фамилии от прозвищ и имён женского рода, но в случае с Навёрткой перед нами скорее мужское прозвище, адаптированное под эту схему. Правописание с буквой «ё» — отдельная история: в документах советского времени её часто заменяли на «е», поэтому в архивах встречаются варианты Наверткин и Навёрткин, хотя произносится фамилия одинаково.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В украинском языке существует слово «наверти», которое в переносном смысле значит «спешно, второпях» — например, «собрались наверти». Если допустить, что прозвище возникло в южнорусских или малороссийских говорах, оно могло характеризовать не профессию, а темперамент: поспешный, торопливый человек, который всё делает наскоро. Эта гипотеза слабее первой, поскольку не подкреплена диалектными данными по великорусским территориям, но полностью отбрасывать её не стоит.

Сам корень «верт-» в русских фамилиях дал богатое семейство: Вертячих, Вёрткины, Навёрткины, Завёрткины. Все они так или иначе связаны с движением, вращением или работой руками. В этом ряду Навёрткин выделяется именно приставкой «на-», которая придаёт глаголу значение результата действия: не просто вертеть, а довести до конца, навить, накрутить. Такая семантика хорошо ложится на ремесленную среду, где ценился не процесс, а готовое изделие.

Прозвища, лёгшие в основу фамилий, чаще всего давались односельчанами и закреплялись за семьёй уже во втором-третьем поколении. Потомки человека, которого звали Навёрткой, со временем стали писаться Навёрткиными. Точных дат появления фамилии мы не знаем, но по модели образования она относится к пласту русских фамилий XVI–XVII веков, когда шло массовое оформление родовых имён у посадских людей и крестьянства.