Фамилия Недлькина — редкая, и её разговорный, «домашний» облик не случаен. Она образована от прозвища или имени Недлька с помощью самого распространённого в русской ономастике суффикса принадлежности -ин. Суффикс указывает на то, что основатель рода (мужчина Недлька) передал своё прозвище потомкам, а форма Недлькина — это женский вариант, то есть «жена или дочь Недльки». Мужская форма фамилии — Недлькин.

Ключ к разгадке — в корне «нед-», который в русских говорах часто связан с понятием «неделя». В старину неделей называли не семь дней, а воскресенье (день, когда «не делают», не работают). Отсюда и прозвище Недлька: так могли назвать человека, родившегося в воскресенье, или того, кто по какой-то причине был связан с этим днём — например, крестьянина, обязанного работать на барщине именно по воскресеньям. В некоторых говорах «недлькой» иронично называли ленивого, праздного человека, который «не делает» и в будни.

Фамилия явно недворянская, крестьянская или мещанская по происхождению. Такие прозвищные фамилии на -ин, как правило, закреплялись за простыми людьми в XV–XVII веках, когда шёл массовый учёт населения. Географически корни Недлькиных, скорее всего, лежат в северных и центральных губерниях России — там, где сохранялось диалектное произношение «недлька» вместо литературного «неделька». Встречаются и однокоренные фамилии: Недля, Недлин, Недёлькин, но Недлькина стоит особняком из-за выпадения гласной в корне, что характерно для быстрой, разговорной речи.

Итог прост: предок нынешних Недлькиных получил прозвище по дню недели или по черте характера, а фамилия закрепилась в форме, близкой к живому народному произношению.