Фамилия Недужий звучит как прилагательное, и это не случайность: перед нами типичный случай, когда прозвище застыло в форме полного прилагательного без суффикса. В русской ономастике такие фамилии (Худой, Кривой, Молодой) редки, но показательны — они сохранили прямой, часто описательный смысл. Основа здесь — древнерусское слово «недуг», то есть болезнь, хворь, немощь. «Недужий» означало больной, слабый, хилый человек, а в переносном смысле — тот, кто часто хворает или имеет физический изъян.

Сразу оговоримся: не стоит воспринимать это как оскорбление. В крестьянской среде прозвища давали по внешним или физическим признакам без злого умысла — для быстрого узнавания. Недужим могли назвать младенца, который родился слабым, или взрослого, который перенёс тяжёлую болезнь. Со временем прозвище закрепилось за родом, и потомки уже не связывали его с исходным значением.

Словообразовательная модель проста: корень «недуг» перешёл в прилагательное «недужий» через суффикс -ий, который в древности образовывал качественные прилагательные (сравните «нищий» от «нищета»). Фамилия осталась в мужском роде, без патронимических суффиксов -ов или -ин, что указывает на её позднюю фиксацию в документах — скорее всего, в XVII–XVIII веках, когда перепись населения требовала записывать всех «как кликают».

Географически фамилия Недужий встречается в основном на юге России и Украине, что связано с диалектным употреблением слова «недужий» именно в этих регионах. В северных говорах чаще использовали «недужной» или «больной». Встречается вариант с ударением на второй слог — Неду́жий, что подтверждает происхождение от существительного «недуг», а не от глагола «недужиться» (мочь, быть в силах).

Среди однокоренных фамилий — Недугов, Недуг, Недужный. Но Недужий стоит особняком: его краткая, почти архаичная форма выдает прозвище, которое не успело «обрасти» суффиксами. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он жил в малороссийских губерниях или в казачьей среде, где такие «говорящие» фамилии были особенно распространены.