Фамилия Немитько — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, отрицательное прозвище. Разбирать её стоит не с корня, а с суффикса: -ко. В украинской и белорусской ономастике этот суффикс — один из самых распространённых. Он образует фамилии от личных имён и прозвищ, причём часто в уменьшительно-ласкательной или, наоборот, ироничной форме. Немитько — типичная фамилия-«полуотчество»: так могли назвать сына, внука или просто человека, которого в быту звали Немитько.

Корень — «немит-». Здесь два основных прочтения. Первое и самое прямое: от прилагательного «немытый» (в старом произношении «немытый» — нечистый, грязный). Прозвище Немыть (или Немитко) могли дать неопрятному человеку, тому, кто не следил за собой. В русских говорах слово «немыть» фиксируется именно в таком значении — неряха. Второй вариант — отглагольный: «не мыть» (не мыть, не стирать). Прозвище по действию: человек, который избегает воды или не занимается хозяйством.

Есть и более спорная версия, которую стоит упомянуть коротко: от имени Немир (сокращение от Немирный, Немира). Но переход «р» в «т» в славянских языках нехарактерен, поэтому эта гипотеза слабая. Правдоподобнее всего — прозвище Немыта/Немыть, которое в украинской фонетике дало форму Немить (через «и» вместо «ы»). Суффикс -ко закрепил эту основу.

Географически фамилия Немитько тяготеет к западноукраинским и белорусским землям. Встречается в основном на Волыни, в Гродненской и Брестской областях. В центральной России практически не фиксируется. Это косвенно подтверждает украинскую модель образования: именно в этих регионах суффикс -ко особенно активен.

Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами. Прозвища, указывающие на бытовые недостатки, давали в среде, где внешний вид и чистота имели практическое значение — например, в общине, где все друг друга знали. Фамилия не дворянская, не книжная, а народная, «уличная».

В итоге: Немитько — это фамилия-характеристика, образованная от прозвища Немыта (немытый человек) с помощью типичного для западнорусских земель суффикса -ко. Ваш предок, скорее всего, получил это прозвище за небрежность в одежде или за нелюбовь к воде, а потом оно закрепилось за его потомками.