Фамилия Немонов — редкий случай, когда за стандартной патронимической формой на -ов скрывается неочевидная основа. Если бы фамилия была образована от имени Немон, мы бы имели дело с греческим заимствованием, но такого имени в русских святцах нет. Поэтому первая и самая вероятная версия: Немонов — это вариант фамилии Немов, где корень «нем» (от «немой») получил наращение -он-.

В русской ономастике суффикс -он- встречается в прозвищных фамилиях, образованных от прилагательных или глагольных форм. Прозвище Немой давали человеку с дефектом речи, молчаливому или тому, кого считали «немцем» — то есть чужеземцем, говорящим непонятно. Форма Немон — это экспрессивное производное от того же корня, как, скажем, Глухон или Хромон. Со временем, когда прозвище Немон утратило прямую связь с «немотой», его осмыслили как полное имя и добавили фамильный суффикс -ов: Немонов.

Вторая, менее распространённая версия связывает фамилию с топонимом. В некоторых говорах «немон» могло означать «нежилой, пустынный, глухой» (от диалектного «немая сторона»). Тогда Немонов — это указание на выходца из такой местности, из глухомани. Однако эта гипотеза слабее: для топонимических фамилий в русском языке типичнее суффиксы -ский или -ин.

Фамилия Немонов фиксируется в основном в центральных и северных регионах России — в старых переписях Вологодской, Костромской и Ярославской губерний. Там же встречаются однокоренные Немов, Немой, Немкин. Примечательно, что в южных говорах, где «немой» заменяли словом «гугнивый», подобные фамилии почти не встречаются — это дополнительно подтверждает диалектную природу корня.

Что касается сословной принадлежности: Немоновы могли быть как крестьянами (прозвище давалось в деревне), так и, реже, духовенством. В семинарской среде фамилии от «немой» давали ученикам, которые заикались или плохо отвечали на уроках, но это была скорее насмешливая традиция, а не официальная практика.

Таким образом, ваш предок по фамилии Немонов, скорее всего, получил прозвище Немон — либо за молчаливость, либо за невнятную речь, либо за то, что его считали «немцем» (иностранцем). Фамилия сохранила эту бытовую характеристику в архаичной, почти исчезнувшей словоформе.