Фамилия Нормеева — редкий пример, где сразу бросается в глаза необычная основа. В русских фамилиях сочетание «рм» встречается нечасто, и это сразу подсказывает, что корень, скорее всего, не славянский, а заимствованный или тюркский.

Словообразовательная модель здесь классическая: основа «Норме» плюс суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — Нормеев). Окончание -а — типичное для женского варианта фамилии, но в разговоре обычно имеют в виду мужскую форму Нормеев. Суффикс -ев, а не -ов, говорит о том, что основа оканчивалась на мягкий согласный или, как в данном случае, на «е». Такая модель широко распространена в Поволжье и на Урале, где активно смешивались русские и тюркские языки.

Самая вероятная версия происхождения — от тюркского имени или прозвища Нормай (или Нурмай). В татарском, башкирском и других тюркских языках есть корень «нур» (свет, луч) и уменьшительный суффикс -май. Имя Нурмай буквально означает «светлый месяц» или «лунный свет» — красивое пожелательное имя, которое давали ребёнку, чтобы он рос светлым и удачливым. Со временем звук «р» мог смягчиться, и в русской записи появилось «Нормеев» вместо «Нурмаев». Вторая версия, менее вероятная, — от мордовского (эрзянского) имени Норма, которое могло быть прозвищем от слова «норма» в значении «мера, порядок», но это скорее случайное совпадение.

По географии фамилия Нормеева тяготеет к регионам с исторически смешанным населением: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская область. Здесь в XVIII–XIX веках крещёные татары и башкиры нередко получали фамилии, образованные от их дохристианских имён, которые потом закреплялись в метриках. Носители фамилии могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми — например, толмачами или ямщиками, которые часто перенимали тюркские прозвища.

Встречаются варианты написания Нурмеев, Нормаев, Нурмаев — это одна и та же фамилия в разной транскрипции. Если ваши предки писались через «о», это, скорее всего, результат акающего произношения или ошибки писаря, который записывал на слух. Фамилия редкая, поэтому её обладатели, скорее всего, имеют общего предка, жившего не так уж давно — в XVIII–XIX веках.