Фамилия Оченашко — украинская по происхождению, что сразу видно по суффиксу -енко. Это типичный патронимический формант, который в Юго-Западной Руси (на территории современной Украины) означал «сын» или «потомок». В русском языке ему соответствуют фамилии на -ов/-ев, в польском — на -ович/-евич. Таким образом, Оченашко — это «сын Оченаша» или «потомок Оченаша».

Основа фамилии — прозвище Оченаш. Его происхождение неочевидно и допускает несколько трактовок. Самая правдоподобная версия связывает его с диалектным украинским словом «оченаш» — искажённым произношением латинской молитвы «Отче наш» (Pater noster). В старину так могли прозвать человека, который часто и громко молился, был набожен или, наоборот, получил ироничное прозвище за привычку вставлять молитвенные слова в речь. Связь с церковной лексикой — распространённый источник украинских фамилий (вспомните Аминь, Богомаз, Пономаренко).

Менее вероятен, но возможен вариант, что корень — «очен» (от «очень» в значении «весьма» или от «очи» — глаза). Однако в таком случае фамилия скорее звучала бы как Очененко или Оченко. Версия с молитвой выглядит убедительнее, поскольку в украинской ономастике зафиксированы аналогичные фамилии: Патера, Патеренко, Нашивка (от «Отче наш»).

Судя по модели образования, фамилия Оченашко могла возникнуть в среде казачества или крестьянства, где патронимы на -енко были основной формой именования. Географически она тяготеет к центральным и восточным регионам Украины (Полтавщина, Черкащина, Слобожанщина). В Российской империи носители фамилии могли оказаться в ходе переселений или службы. Фамилия редкая: её не встретишь в списках массовых дворянских родов, а значит, предки — скорее всего, простые люди, получившие фамилию по отцовскому прозвищу.