Фамилия Отченашко — редкий случай, когда основа прозрачна даже для человека, не знакомого с исторической лексикой. В ней слышится церковнославянское «Отче наш» — начало главной христианской молитвы. Суффикс -ко типичен для украинских и южнорусских фамилий, он указывает на происхождение с территории современной Украины или Белгородской, Воронежской, Курской областей. Так что носитель фамилии почти наверняка потомок выходца из этих мест.

Как именно предок получил такое прозвище — вопрос неоднозначный. Самая вероятная версия: Отченашем (или Отченашкой) называли человека, который часто и громко читал молитву, возможно, причетника или дьячка. В быту прозвища по любимым речевым оборотам давали нередко: если человек постоянно повторял «отче наш», это могло закрепиться за ним и его детьми. Менее популярная, но тоже возможная гипотеза — прозвище получил ребёнок, родившийся сразу после того, как в семье прочитали молитву, или в день, когда в храме читали «Отче наш» как особое песнопение.

Словообразовательная модель проста: прозвище Отченаш (или Отченаша) + патронимический суффикс -ко. В украинской традиции -ко присоединяли к основе, чтобы обозначить потомка: Отченашко — буквально «сын Отченаша». Со временем суффикс потерял значение «сын» и закрепился как фамильный.

Встречается фамилия в основном в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков переселенцев на Кубани и в Сибири. Варианты написания — Отченашко, реже Отченашко́ с ударением на последний слог, что характерно для некоторых говоров. В русской среде фамилию могли адаптировать как Отченашев, но форма на -ко сохранилась лучше.

Отченашко не относится к дворянским или купеческим фамилиям — это типичная крестьянская или казачья фамилия, образованная от бытового прозвища. Никаких сложных лингвистических споров вокруг неё нет: корень ясен, а альтернативные версии (например, от тюркского слова) не выдерживают критики, так как «отче» — исконно славянское, церковное.