Фамилия Одынь — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не ремесло, а, скорее всего, диалектное прозвище. Чтобы понять её происхождение, нужно смотреть не на литературный русский язык, а на говоры северо-запада и запада России.

Самый прямой путь — глагол «оды́нуть» или «оды́нуть(ся)». В псковских и тверских говорах это значит «отодвинуть», «отстранить», а в возвратной форме — «отодвинуться», «уступить место» или даже «отказаться от чего-то». Человек, получивший прозвище Одынь, мог быть нерешительным, медлительным, либо, наоборот, тем, кто постоянно отстранялся от дел, уклонялся от работы. Вторая версия, менее вероятная, но возможная: связь с диалектным словом «одынье» — так в некоторых местах называли одиночество, уединённое место. Тогда прозвище могло закрепиться за нелюдимым, замкнутым человеком.

Фамилия образована по простой и древней модели — от прозвища, оканчивающегося на твёрдый согласный, с помощью нулевого суффикса. То есть Одынь — это и есть исходное прозвище, которое перешло в фамилию без изменений. Такая модель (типа Глухарь, Бобер, Соловей) характерна для украинской и белорусской традиции, но встречается и в русских фамилиях, особенно на западе и юге России. Суффикса -ин или -ов здесь нет, что указывает на более позднее закрепление фамилии или на её происхождение из среды, где фамилии складывались не по московскому канону.

География фамилии это подтверждает. Одынь — фамилия не частая, но её следы ведут в Псковскую, Смоленскую, Брянскую области и на запад Беларуси. Это зона активных контактов русского, белорусского и польского языков, где диалектная лексика особенно богата. Если искать однокоренные фамилии, то ближайшие — Одынец (с уменьшительным суффиксом) и Одынцев (от него). Встречается также вариант Одынько, что уже явно указывает на украинское происхождение.

Сословной привязки у фамилии нет. Носители Одынь могли быть и крестьянами, и мещанами, и однодворцами южных окраин. Спорных версий, которые стоило бы разбирать подробно, здесь две: связь с числительным «один» (фонетически маловероятно, так как «одынь» не даёт типичного перехода «один» в говорах) и связь с литовским «udinis» (водяной) — версия красивая, но без документальных подтверждений перехода звуков в фамилию. Самое правдоподобное объяснение — от глагола со значением «отодвинуть, отстранить».