Фамилия Отрошевская — редкая, типично польская по форме, но с корнем, который уводит в древнерусские прозвища. Суффикс -евск- указывает на шляхетское или, реже, церковное происхождение: так образовывали фамилии от названий имений и местечек. Если перед нами именно вариант на -ская, а не на -ский, то это женская форма, которая закрепилась за родом в документах (например, через вдову или дочь помещика). Мужской вариант — Отрошевский.

Основа «Отрош-» — это, скорее всего, усечённая форма от имени Отрош или от прозвища Отроша. В древнерусском языке «отрок» означало не только подростка, но и младшего дружинника, слугу, работника. Отрошей могли назвать младшего сына, бойкого парня или человека, который долго оставался в холостяках. В польском языке есть аналогичное слово «otrok» — «слуга», «батрак». Так что прозвище могло быть как бытовым, так и социальным — не обидным, а описательным.

География фамилии подсказывает, что её носители жили на землях бывшей Речи Посполитой: в Беларуси, на востоке Польши, в западных губерниях Российской империи. Там фамилии на -ский/ -ская получали мелкие шляхтичи, которые владели хуторами или деревеньками с похожим названием. Возможно, существовало село Отрошево или Отрошев, от которого и пошла фамилия. В современных польских и белорусских архивах встречаются записи об Отрошевских среди земян (мелкопоместного дворянства) XVIII–XIX веков.

Спорных версий немного. Иногда Отрошевскую связывают с литовским корнем «otras» — «второй», но это натяжка: для литовских фамилий типичны окончания -ис, -ас, -унас, а не польский -ский. Правдоподобнее всего — славянское прозвище Отрош, которое со временем превратилось в фамилию владельческого типа. Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью происходил из мелкой шляхты или из крестьян, получивших фамилию по месту жительства, — но не из крепостных, потому что крестьянам в Российской империи такие «дворянские» суффиксы давали редко.