Фамилия Озашвили — типичный пример грузинской фамилии, построенной по самой распространённой в Грузии модели: основа + суффикс -швили. Этот суффикс переводится как «сын» или «дитя», поэтому Озашвили буквально означает «сын Оза» или «потомок Оза». В грузинской ономастике -швили — патронимический формант, который начал активно вытеснять более древние суффиксы (-дзе, -ани) в восточной Грузии, особенно в Картли и Кахетии, начиная с позднего Средневековья. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они родом именно из этих регионов.

Корень фамилии — Оза. Это может быть краткая форма от грузинского имени Озар (библейский Елеазар, «Бог помог») или от имени Озан (тюркского происхождения, означающего «певец» или «сказитель»). Второй вариант менее вероятен, но не исключён для фамилий, возникших в пограничных с Азербайджаном районах. В любом случае, перед нами не прозвище, а личное имя или его усечённая форма, которое стало родовым. Сравните с фамилиями Озанишвили (от того же корня, но с другим суффиксом) или Озашвили — они однокоренные и могли возникнуть в одной местности как варианты одного имени.

Обратите внимание на написание: в русском языке фамилию могут путать с Озашвили, но в грузинском оригинале она пишется через ო (о) и ზ (з) — ოზაშვილი. Поскольку фамилия недворянская (грузинские княжеские роды обычно использовали суффиксы -дзе или -ани), ваши предки, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками. В метрических книгах XIX века такие фамилии встречаются в основном среди простого сословия. Если хотите узнать точное место происхождения, ищите записи в архивах Телавского или Гурджаанского районов Кахетии — там фамилии на -швили особенно густы.