Фамилия Пархатских — одна из тех, что выдают своего носителя с головой: это типичная фамилия на -их/-ых, характерная для северных русских говоров, Сибири и Урала. Такие фамилии не склоняются и отвечают на вопрос «чей?»: Пархатских — из семьи Пархатых. Модель образования проста: сначала существовало прозвище или семейное имя Пархатой (с ударением на последний слог), а затем его закрепили в родительном падеже множественного числа, чтобы указать на принадлежность к роду. В центральных и южных областях России та же основа превратилась бы в Пархатов или Пархатьев.

Корень фамилии — «парх-», который в русских говорах имеет два основных значения. Первое и самое вероятное: диалектное слово «пархатый» означало «чесоточный, шелудивый, покрытый струпьями». В старину так могли прозвать человека с кожной болезнью или просто неопрятного, неряшливого. Второе значение — «парх» как птица (сравните с украинским «парх» — «коршун» или «стервятник»), но для русских говоров это значение редкое и локальное, поэтому версия с прозвищем по внешнему виду надёжнее. В любом случае, основа не книжная, а живая, просторечная — из крестьянского обихода.

Обратите внимание на суффикс -ск-: в фамилии Пархатских его нет. Это не «Пархатский» (дворянская или польская модель), а именно «Пархатских» — народная, «кустовая» форма. Такие фамилии не жаловали дворянам, их носили крестьяне, реже — купцы и мещане Русского Севера. Географически фамилия тяготеет к Вологодской, Архангельской, Кировской областям, а также к Пермскому краю и Тюменской области — зонам, где закрепился суффикс -их/-ых.

Сравните с однокоренными фамилиями: Пархатов (юг), Пархаев (от имени Парха, уменьшительного от Парфён), Парханов (от тюркского «пархан» — «жрец», но это уже другая история). Пархатских стоит особняком: она не просто констатирует прозвище, а привязывает его к целому роду. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был государственным или помещичьим крестьянином из северных или уральских деревень, а его дальний родоначальник получил прозвище за внешность или болезнь — неласковое, но точное.