Фамилия Пархатский — один из тех случаев, когда географический суффикс -ский сразу даёт подсказку: её носители, скорее всего, происходят из определённого места, названного словом Пархаты или Пархатка. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые образуются от имён или прозвищ отца, модель на -ский в русской традиции чаще всего указывает на дворянские или шляхетские корни, либо на выходцев из конкретного населённого пункта. В данном случае, скорее всего, мы имеем дело с фамилией польского или западнорусского происхождения, где суффикс -ский был особенно распространён.

Основа фамилии — слово «пархат», которое имеет два основных значения. Первое, прямое — «паршивый, шелудивый» (от «парха» — кожная болезнь, чесотка). Второе, переносное — «негодный, дрянной, скверный человек» (в старых говорах). Прозвище Пархат мог получить человек с больной кожей, неряха, либо, в ироничном ключе, кто-то с противоположными качествами. Поскольку прозвища редко давали за хорошие качества, первая версия выглядит правдоподобнее.

Однако есть и второй путь: топонимический. В Польше и на территории современной Беларуси встречаются небольшие селения с названиями Пархаты, Пархатово (например, в Мазовецком воеводстве). В таком случае Пархатский — это «тот, кто из Пархат», то есть помещик или крестьянин, переселённый оттуда. Такая фамилия могла закрепиться за шляхтичем, владевшим хутором Пархаты, или за крепостным, записанным по месту жительства. Учитывая, что в России фамилии на -ский чаще встречались у духовенства и дворян, а у крестьян — в западных губерниях, география бытования фамилии (она встречается в основном на западе России, в Беларуси и на Украине) подтверждает западнорусский след.

Словообразовательная модель проста: основа «пархат» (от прозвища или названия) + суффикс -ский. Если бы фамилия была чисто русской, она звучала бы как Пархатов (от прозвища Пархат). Форма на -ский — маркер того, что фамилия либо искусственная (семинарская, дававшаяся в духовных училищах), либо польско-литовского происхождения. В духовных училищах фамилии часто давали по «красивым» латинским корням, но «пархат» — слово слишком простонародное, поэтому версия с географией или шляхетским прошлым выглядит убедительнее.

В итоге: ваш предок мог быть либо «пархатым» — человеком с прозвищем за неопрятность или болезнь, либо выходцем из местечка Пархаты. Первая версия более универсальна и вероятна для крестьянской среды, вторая — для мелкопоместной шляхты или однодворцев.