Фамилия Переметчик — один из тех редких случаев, когда прозвище прямо называло человека по его занятию, причём занятию не самому почётному. В основе лежит глагол «переметать» или «переметнуться». В русских говорах «переметчик» — это перебежчик, изменник, тот, кто переходит на сторону врага или бросает своё дело. Слово имеет явный негативный оттенок и вряд ли могло быть самоназванием. Скорее всего, прозвище дали со стороны — либо в насмешку, либо по реальному случаю: человек покинул общину, перешёл в другую веру, сменил хозяина или сословие.

Интересно, что фамилия образована не через стандартные суффиксы -ов/-ев или -ин, а через продуктивный в прошлом суффикс -чик/-щик, который указывал на род деятельности: извозчик, бакенщик, переплётчик. То есть «переметчик» — это не «сын Перемета», а «тот, кто переметывается». Такие модели чаще встречаются в южнорусских и украинских землях, где сохранялась живая связь прозвища с действием. Возможно, предок носителя фамилии был известен непостоянством, а может, в мирное время слово имело иное значение — например, «переметчик» могло быть прозвищем торговца, который «переметывал» товар с воза на воз или менял места торговли.

Фамилия редкая, в массовых списках не встречается. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова она не упоминается, что говорит о её локальном бытовании. Вероятно, возникла в среде, где прозвища давали по поведению, а не по профессии или имени отца. Параллельные формы — Перемет, Перемётов, Переметкин — встречаются чаще, но именно Переметчик сохранила прямую связь с действием, без перехода в отчество.

Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, жил в южной части России или на Украине, и прозвище ему дали односельчане — за крутой поворот в судьбе или за характер, который не укладывался в рамки деревенского уклада.