Фамилия Перемячкин образована от прозвища или нецерковного имени Перемячка. Основа здесь — глагол «перемякать» или «перемякнуть», то есть стать слишком мягким, размякнуть. В переносном смысле так могли назвать изнеженного, нерешительного или чересчур уступчивого человека. В русских говорах слово «перемяка» встречается именно в таком значении — мягкотелый, слабохарактерный.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть Перемячкин — сын или потомок Перемячки. Суффикс -к- в основе (Перемячк-а) — уменьшительно-пренебрежительный, он смягчает прозвище, делая его скорее бытовым, чем грубым. Получается, что фамилия родилась в крестьянской или мещанской среде, где прозвища давали по характеру или поведению.

Интересно, что фамилия Перемячкин нечастая. Встречается она преимущественно в центральных и северных регионах России — в старых переписях её фиксировали в Вятской, Костромской и Вологодской губерниях. Там слово «перемяка» было в ходу, и фамилия могла закрепиться независимо в разных деревнях. В южных говорах этот корень почти не употребляется, поэтому география фамилии сужается.

Однокоренных фамилий мало. Можно вспомнить Мякишева (от «мякиш»), Мягкова (от «мягкий») и, возможно, Перемякина — вариант с другим суффиксом. Но Перемячкин стоит особняком: -чк- в основе выдает именно прозвищное, разговорное происхождение. В дворянских или духовных сословиях такая фамилия не встречалась — она осталась в простонародье.

Версия о связи с ремеслом маловероятна. Никакого орудия или продукта с названием «перемячка» в русском языке не известно. Единственное, что можно допустить — связь с диалектным «перемякать» в значении «пережевывать» (о еде), но это уже натяжка. Правдоподобнее всего объяснение через характер человека, и оно подтверждается словарями народных говоров.