Фамилия Перемячкина — женская форма фамилии Перемячкин, и в ней интересен не столько суффикс -ин (указывающий на принадлежность: «чей?» — Перемячкин, то есть сын или дочь Перемячки), сколько сама основа. В русских фамилиях на -ин обычно лежат имена или прозвища на -а/-я (Гриша — Гришин, Фома — Фомин), но здесь основа звучит необычно: Перемячка.

Прямой путь к разгадке — глагол «перемякать» или «перемякнуть», то есть стать слишком мягким, размякнуть. В диалектах так могли сказать о человеке вялом, нерешительном, «размазне». Прозвище Перемячка давали тому, кого считали излишне податливым или бесхарактерным. Вторая, менее вероятная версия — связь с «перемячивать» (месить тесто заново) или с «перемяч» (что-то перемятое, сбитое в комок), тогда прозвище относилось бы к пекарю или человеку, работающему с мягким материалом, но это скорее домысел, чем подтверждённый факт.

Встречаемость фамилии редкая, даже по меркам нечастых основ. В исторических документах Перемячкины почти не попадаются, что типично для прозвищных фамилий из крестьянской или мещанской среды — их не фиксировали в дворянских родословных книгах. По географии: несколько носителей в XX веке отмечены в Тверской и Псковской областях, что может указывать на северо-западный диалектный ареал слова «перемякнуть».

С точки зрения словообразования фамилия прозрачна: прозвище Перемячка (женский род в прозвище не обязателен, часто такие формы давали мужчинам иронически) плюс стандартный патронимический суффикс -ин. Сравните с однокоренными, но более распространёнными фамилиями Мякин, Мягков — там та же идея мягкости, но Перемячка добавляет оттенок «переборщил с мягкостью».

Итог прост: предок носителя фамилии, скорее всего, получил прозвище за излишнюю мягкость характера или, в бытовом смысле, за неумение настоять на своём. Никакой драматической истории, зато точная характеристика, которую закрепили в родовом имени.