Фамилия Песщёнков — редкий случай, когда написание прямо указывает на диалектное произношение. В литературном языке мы бы ожидали форму Песочников или Песоченков, но здесь сработал принцип «как слышится, так и пишется»: в некоторых говорах, особенно в южнорусских и рязанских, звук [о] после мягкого согласного переходит в [ё], а сочетание «чн» упрощается до «щн». Так что перед нами не искажение, а живая народная фонетика, закреплённая в документе.

Основа фамилии — песок. Но это не обязательно означало, что предок жил на песчаной земле или был беден как песок. Куда вероятнее профессиональное прозвище: Песочник или Песоченок — так в старину называли торговца песком. В городах и слободах песок нужен был для строительства, для чистки металлической посуды, для посыпания дорог зимой. Человек, который возил и продавал его, получал прозвище по товару.

Суффикс -ёнк- (в исходной форме «Песоченок») указывает на то, что фамилия формировалась по древней восточнославянской модели «сын такого-то». Песоченок — это «сын Песочника». Позже, при переходе в официальные фамилии, к основе добавили стандартный суффикс -ов, и получилось Песоченков, а в народном произношении — Песщёнков.

Интересно, что фамилия почти не встречается в центральных областях России, где преобладает форма Песков или Песочников. Основной ареал Песщёнковых — юг России, особенно Ростовская область и Краснодарский край, куда в XIX веке переселялись крестьяне из малоземельных губерний. Там и закрепился уникальный фонетический вариант.

С точки зрения словообразования, это типичная «патронимическая» фамилия от прозвища, но с редким для литературного языка чередованием. Других версий, кроме «песочной», у фамилии нет — корень прозрачен, а попытки связать её с «песнью» или «пестом» разбиваются о законы русской фонетики.