Фамилия Пичгина — женская форма фамилии Пичгин, и её ключ лежит в прозвище или диалектном слове, а не в имени. Основа здесь — «пичга». В русских говорах, особенно северных и уральских, «пичга» или «пичужка» — это маленькая птичка, птаха, синица или вообще любая мелкая пичуга. Слово звукоподражательное, от «пич-пич». Значит, кличку Пичга мог получить человек маленького роста, щуплый, юркий или с тонким, звонким голосом — как птичка.

Суффикс -ин в фамилии Пичгин указывает на принадлежность: «чей?» — сын или человек Пичги. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я. В мужском варианте фамилия звучит Пичгин, в женском — Пичгина, по падежам склоняется как обычное прилагательное. Ударение, скорее всего, падает на первый слог: П́ичгина, хотя в некоторых говорах возможно смещение.

Интересная деталь: фамилия редкая и не встречается в боярских или дворянских родословных. Её корни — крестьянская или посадская среда. В XIX веке носители фамилии плотно осели на Вятке, в Пермской губернии и в Сибири, куда переселялись северные крестьяне. Там слово «пичга» было в ходу, и прозвище давали без иронии — скорее, как ласковое или бытовое описание внешности. Сравните с однокоренными фамилиями Пичугин, Пичужкин — они образованы от того же корня, но с разными суффиксами, что говорит о независимом возникновении в разных регионах.

Версия о связи с тюркским словом (например, «бич» — плеть) маловероятна: для русской фамилии такое заимствование нехарактерно, и географическое распространение Пичгиных — чисто русские северные территории. Так что если вы Пичгина, ваш предок скорее всего был невысоким, живым человеком с прозвищем Птаха — и оставил его в фамилии безо всякой претензии на знатность.