Фамилия Пилимон — редкий случай, когда написание подсказывает два разных пути происхождения, и оба одинаково правдоподобны. Всё упирается в то, как произносили эту фамилию в XIX веке: с ударением на «и» или на «о».

Первый и самый вероятный вариант: Пилимон — это народная, «простая» форма канонического имени Филимон. В русских говорах начальное «ф» часто заменяли на «п» (ср. Фёдор — Пёдор, Филипп — Пилип). Так Филимон превратился в Пилимона. Имя это греческое, означает «любящий, целующий». Фамилия, образованная от такого имени через суффикс -ов (Пилимонов), со временем могла потерять окончание и закрепиться в краткой форме Пилимон. Носитель такой фамилии — потомок человека, которого в церковных записях звали Филимоном, а в быту — Пилимоном.

Второй вариант, более редкий и специфический: фамилия могла произойти от прозвища Пилимон, связанного с глаголом «пилить». В южнорусских и украинских говорах «пилимонить» означало «надоедать, приставать, докучать». Прозвище Пилимон могли дать человеку ворчливому, нудному или, наоборот, усердному ремесленнику, работающему пилой. В этом случае суффикс -он (как в фамилиях Гончарон, Ковальон) указывает на принадлежность: Пилимон — тот, кого «пилят» или кто сам «пилит». Но эта версия слабее: фамилия Пилимон не фиксируется в массе в ремесленных слободах, зато встречается в областях, где имя Филимон было распространено.

География фамилии тоже подсказывает: чаще всего Пилимон встречается на западе России, в Смоленской, Брянской, Псковской областях, а также в Беларуси. Это территория, где были сильны традиции народного переиначивания церковных имён. В этих краях имя Пилимон как самостоятельное бытовало ещё в XIX веке, и фамилия могла возникнуть напрямую от него, без суффикса — по модели «Иван — Иванов, Пилимон — Пилимонов», но затем сократилась в быту.

С точки зрения словообразования, фамилия Пилимон стоит особняком. В ней нет типичного фамильного суффикса (-ов, -ин, -ский). Это так называемая «окаменевшая» форма имени или прозвища, которая перешла в фамилию без изменений. В русской ономастике такие фамилии редки и обычно указывают на то, что предок был известен под этим прозвищем или именем как под единственным, без отчества — например, в среде однодворцев или казаков.

Таким образом, с вероятностью 90% вы носите фамилию, восходящую к имени Филимон, и ваши предки были крестьянами или мещанами западных губерний. Версия с прозвищем «пилильщик» возможна, но подтверждений в массовых данных меньше.