Фамилия Пивцайкин образована от прозвища Пивцайка, а в его основе лежит эрзянский глагол «пивцай» — «молотить (о колосьях)». Такое прозвище мог получить ребенок, родившийся в страду, когда вся семья дни напролет проводила на току, либо взрослый, чьим главным занятием была молотьба. В эрзянских селах молотьба считалась тяжелой, но почетной работой, и человека, который справлялся с ней лучше других, соседи вполне могли прозвать Пивцайкой.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: к основе Пивцайк- присоединен патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность. Фамилия отвечает на вопрос «чей?» — «сын Пивцайки». Такая модель типична для русских фамилий, но в данном случае интересен сам корень, который выдает финно-угорское происхождение. Фамилия Пивцайкин — редкий пример того, как эрзянское слово органично встроилось в русскую фамильную формулу.

Стоит обратить внимание и на суффикс -ка в прозвище. В эрзянском языке он мог выполнять уменьшительно-ласкательную функцию, но в русской среде такой формант часто прирастал к прозвищам, обозначавшим человека по действию или ремеслу. Поэтому Пивцайка — это не столько «маленький молотильщик», сколько «тот, кто молотит», человек, узнаваемый по своему занятию.

Географически фамилия тяготеет к территориям расселения эрзи — это преимущественно восток Мордовии и прилегающие районы Поволжья. В метрических книгах XIX века подобные фамилии встречаются в селах, где русское и эрзянское население жило чересполосно, и прозвища на родном языке нередко становились основой для фамилий, закреплявшихся за целыми семьями.

Отдельно отметим, что фамилия Пивцайкин не связана с пивом. Внешнее сходство с корнем «пив-» обманчиво: здесь мы имеем дело с эрзянской лексикой, а не с русским названием пенного напитка. Это типичная ситуация для фамилий, где одинаково звучащие основы восходят к разным языковым источникам.