Фамилия Побелянова — это женская форма, но разговор пойдёт о мужском варианте Побелянов, от которого она образована. В центре внимания здесь не корень, а редкий способ словообразования. Фамилия явно происходит от прозвища или имени Побелян, а то, в свою очередь, — от глагола «побелять» (делать белым, белить). Однако суффикс -ян- в основе встречается нечасто. Чаще мы видим Побелов, Побелкин или Побелков. Суффикс -ян- мог указывать на принадлежность к определённой местности (ср. «полянин») или на смягчённое, ласкательное образование имени. Скорее всего, Побеляном называли человека с очень светлыми, белыми волосами, либо того, кто занимался побелкой — например, белил печи, стены или холсты. Второе вероятнее: в русских говорах «побелян» могло быть прозвищем маляра или ремесленника, работавшего с известью.

С географической точки зрения фамилия тяготеет к южнорусским и поволжским регионам. Встречается в документах XIX века среди крестьян и мещан Курской, Тамбовской и Саратовской губерний. Там же бытовали однокоренные Побеловы, Побелкины и Побединские. Интересно, что написание через «ё» (Побёлянов) — не ошибка, а следствие местного произношения: в южных говорах «е» под ударением переходило в «ё». Так что предки нынешних Побеляновых могли числиться в ревизских сказках как Побёляновы.

Социальный состав носителей неоднороден. Основная масса — государственные крестьяне, но есть и единичные записи о купцах третьей гильдии. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено. В советское время фамилия не исчезла, но осталась редкой: по данным современных телефонных справочников, Побеляновы живут в основном в Центральной России и на Урале. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был вольным хлебопашцем или ремесленником, а не крепостным.