Фамилия Побутова — женская форма фамилии Побутов, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь — прозвище или неканоническое имя Побут. Корень «бут» в русских говорах неоднозначен, и это как раз тот случай, когда без географии и контекста не обойтись.

Самый прямой путь: слово «бут» в строительном деле — это каменный бой, щебень, а также грубо отёсанный камень для фундамента. «Побут» могли дать человеку, который занимался добычей или укладкой такого камня, либо прозвище приросло к тому, кто жил на каменистой почве — «побутистое» место. В южнорусских и украинских говорах «бут» имело и другое значение — шум, гам, суматоха. Тогда Побут — человек шумный, суетливый, либо, наоборот, тот, кто «побутил» — утихомирил ссору (глагол «бутить» в переносном смысле).

Формант -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Побутов — сын Побута. Это значит, что прозвище было личным, а не уличным. Фамилия встречается нечасто, и её география тяготеет к регионам бывшей Слобожанщины и юга России — там, где «бут» в значении «камень» был в ходу у мастеровых и крестьян.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» упоминаются однокоренные фамилии (Бутов, Бутин), но Побутова — более редкая форма с приставкой по-, которая часто указывала на признак по действию или состоянию. Социальный срез: скорее всего, предки были из крестьян или ремесленников, связанных с каменным делом. Дворянских родов с такой фамилией в исторических списках нет.

Если же отталкиваться от версии с «бутить» в значении «глушить, забивать» (рыбу боталом), то Побут мог быть рыбаком. Но строительная версия выглядит надёжнее из-за устойчивости термина в материальной культуре. В любом случае, перед нами прозвище по занятию или черте характера, которое закрепилось как фамилия к XVIII–XIX векам.